在上一篇文章中，我用一个具体的案例分析来讲解数学的教与学过程。
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虽然有个别家长可能没有完全跳出“做题”的思维去理解我分享的目的，但是，大多数朋友给我的反馈都比较Positive。
您对我的加分鼓励是我继续分享的最大动力源。
高斯定理，三角数，数列问题，在网络上，在书店里，有很多很多这类的书籍可以参考。我试图通过这些具体的步骤分享，去引发有能力的家长进一步地思考，如何把我们已经掌握的了相关联的知识跟孩子一起去进一步探讨可能的解决问题的方案，从而达到激发孩子对数学产生兴趣的目的。
如果只是看到题目的难度系数，可能就会误解我分享的本意：“教”与学中的“教”的内涵。
今天还是通过一道题来分享个人在跟孩子互动过程中的场景。
The following figure is a partial map of the Melbourne CBD. Assume that all the blocks are squares of side length 50 metres. You are trying to find the shortest path from A to I. How many different shortest paths are there from A to I If you are only allowed via the main streets (Collins, Bourke, Queen, Elizabeth, Lonsdale) shown on the map?
下图是墨尔本中央商务区的局部地图。假设这些街区都是正方形，而且每一边长都是50米。您正试图查找从 A 到 I 的最短的路径。请问从 A 到 I 有多少种最短的路径(假设只能从主街，Collins, Bourke, Queen, Elizabeth, Lonsdale 等行走)？
估计很多孩子跟我女儿当年一样，看到题目，可能就会马上拿起笔来，用Trial and Error 的方法在图上画来画去。
最后，获得了如下凌乱的线路图。眉开眼笑地告诉你，答案是 6.
如果只是当作一道题目来练习，孩子已经圆满地完成了任务。应该表扬下。
要是把街区继续扩大下，把问题变得更加复杂些，怎么才能算出来正确的答案呢？
比如，你把这个地图做些扩展，问孩子，如果只能沿着主街行走，从 A 到 I 会有多少种最短的路径？
上次在总结中，我提到，家长先让子弹飞一会儿吧。这次也不例外。
孩子可能还是老套路，迫不及待地拿起笔就开始从 Collin Street 一直走到最东边的 Spring Street，然后欣喜地发现了一条线路。
接着开始从Collin Street 拐到了 Exhibition Street…
用不了几分钟，估计孩子就开始显示出不耐烦的情绪了。因为有太多的街道可以拐进去，拐出来…
再过几分钟，没耐心的孩子可能开始发脾气了，什么破题，有太多太多选择了。
如果你有几个朋友的孩子一起画线路图，可能会好些。每个人花了20多分钟，互相偷看下，哦，你，我，他的答案都不一样啊。
你瞄一眼，慢条斯理地说：答案离可能的路径数还差得很远呢！
这时你再问下孩子，有什么“Smart”的方法能解决这道题？
你可以让孩子一个街区一个街区地扩展，比如，先扩展到 3 X 2，再扩展到 3 X 3 街区，最后去寻找规律来完成这道破题。
孩子 对 3 X 2 街区问题，努力下，不难获得正确的答案。3 X 3 街区，需要更多的耐心。
再往后，比如 4 x 3街区 孩子就会嫌你烦，可能就不干了。
贾宪/杨辉三角 （Pascal Triangle）
11世纪北宋数学家贾宪发明（现）了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表.
据说，贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。当年带女儿去大英博物馆的时候，好像没有注意到它的存在。
1956年著名中国数学家华罗庚先生把这个三角称为“杨辉三角”。此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之。另一方面，专业的中国数学史著作中，还是用“贾宪三角”这个称呼。
在西方国家里，Pascal Triangle是因著名的法国数学家Blaise Pascal 于1654 的专著《论算术三角形》而广为人知。
评论
在杨辉三角中，第一行数字是只有一个 1， 从第二行开始，每行最外面的两位数字都是1，每行的中间值为上一行相邻的两个数之和。图中橙色的数之和等于下一行绿色六边形中的数值。
如何把杨辉三角（Pascal Triangle）的原理应用到墨尔本CBD地图 （图一）的例子中去呢？
从图上看出，
从 A 到B， 从 B 到 C， 从C到 F；
从 A 到D， 从 D到G， 从 G到 H；都只有一种可能性。
如果我们把图形转个方向，就变成这样的了
参看图二。
或者说，变成这样的杨辉三角 （参看 图三）
其中从 A 到 E 点：
1（A 到 D 到 E 只有一种可能性）
+ 1 （A 到 B 到 E 只有一种可能性） = 2
同理，从A到B，从B到C，从C到F都只有一种途径，而从A到E有两种途径，所以
从 A 到 E 就有 1 + 2 = 3 种途径。
同理， 从A到H也有 3种途径，
最后，从 A到 I= 3 + 3 = 6种途径。
最后一个图四，用同样的道理可以算出：从A到B有10种不同的最短途径。
另外两张地图（3 x 3 和 3 x 6），留着你跟孩子们一起去计算。
与此同时，顺便给孩子们介绍下杨辉或者法国数学家 Blaise Pascal的故事。
如果你得出了答案，别忘了给我留言。
如果觉得有收获，别忘了给我加分。谢谢大家的支持。
评论
我读起来还需要极大的耐心，但是加分不手软！
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拜读完楼主大作的感受是，如果家长自己不擅长的话，还是交给善长的人去做吧。数学我不行，分我还是很多的。英语我不地道，钱……还是要花的
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完了！
帖子看一半儿，脑子烧了。
这事儿，我干不了了呀！
评论
这样教不是一般的家长可以干的，楼主强。
评论
多谢加分。假期有时间的话，我准备分享些相对常规的方法跟孩子一起互动。
无论我们家长对数学的兴趣和能力在什么程度上，我总觉得跟孩子一起边玩，边拓展的过程，也是一种非常有意义的生活过程。
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感谢您的加分。从您手里获得了不少分数了。感谢感谢。有机会见面请您喝杯咖啡☕
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有意思。这也是GA中常出的问题
评论
GA 主要的目的就是要考孩子的思维深度。
有思维能力，或者说有抽象和基础思维能力的孩子，比较容易去针对问题做些拓展从而得出正确的答案。
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