很久以前分享过一篇关于澳洲小学数学大纲要求的帖子。
http://www..com.au/bbs/f ... ead&tid=1020294
收到很多朋友的反馈，希望能给些具体的案例，这样能帮助大家在深入地理解小学数学的要点之后，真正地做到把孩子教会。
今天，我试图用一道小学5/6 年级具体的题目来讲解我是如何由浅入深地引导孩子去思考一道有趣的数学问题。
高斯定理的引入
A bullet train carriage can hold 91 passengers. The carriage starts out empty and picks up 1 passenger at the first stop, 2 passengers at the second stop, 3 passengers at the third stop, and so forth. After how many stops will the carriage be full?
一节高铁车厢可容纳91位乘客。 该车厢开始时候是空的，在第一个站点上来1位乘客，在第二个站点上来2位乘客，在第三个站点上来3位乘客，依此类推。 假设没有乘客下车，请问停了几站后这节车厢将满载？
这类题目，对澳洲3，4，5，6 年级的孩子来说都合适。
对于3，4 年级的孩子来说，最多使用的方法可能是：Trial and Error，中文称之为试错法。它是孩子们在4年级或者之前，最常用也是最基本的解决问题的方法之一。孩子们在反复试错的过程中找到问题的答案。
比如，上面这道题，孩子们可能会这么做
1+ 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91
累了满身大汗，终于得到了正确答案：
停靠第13站，13个新的乘客上车之后，这节车厢就满员了。
问题如果到这就结束了，可能就失去了很多跟孩子一起去进一步探讨数字，感受数学乐趣的机会。
看到这一连串连续的数字，在跟孩子一起思考的同时，顺便传授给孩子一个重要的数学概念：
Consecutive Number。
同时，你可以把上面的问题做下延伸：
1 + 2 + 3 + 4 + … 97 + 98 + 99 + 100 = ?
如果孩子还是用最“原始”的加法计算的话，估计这个问题会让她挠头了。
你可以等孩子算得筋疲力尽的时候（时机很重要），一点点地介入，轻描淡写地讲讲当年德国著名数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）小时候的故事。很多孩子当听到有 “Smart”的方法时，大多会眼光放电，兴奋起来，对高斯的故事会产生兴趣。
你可以这样来跟孩子一起来做下这道“高斯”难题
1 + 2 + 3 + 4 + … 97 + 98 + 99 + 100 +
100 + 99 + 98 + 97 + … 4 + 3 + 2 + 1 = ?
1 + 100 = 101， 2 + 99 = 101， 3 + 98 = 101 …
很神奇，每对（pair）都是 101， 总共有 100 对，所以如果
1 + 2 + 3 + 4 + … 97 + 98 + 99 + 100 重复加了两次之后就等于
100 （对） x 101 = 10100,
所以答案是 5050.
注： 为了方便小朋友们的理解，以及为了延伸到三角数及等差数列问题上，我把高斯原来的解法做了下修改。
拓宽数学和科学的阅读面
如果家长有心的话，可以利用类似的机会去拓宽孩子的知识面，比如找些跟高斯有关的故事书来让或者跟孩子一起阅读。
也可以找些有趣的中文数学故事书来提高中文的听说能力（海外），增加孩子的好奇心，提高探索科学和数学的兴趣。
英文书，比较有名的《The Number Devil》 by Hans Magnus Enzensberger , 《Aha！GotCha》《The Murderous Math》等系列书。
中文数学故事，我女儿小时候比较爱看的李毓敏编写的，比如《数学西游记》，谈祥柏《乐在其中的数学》，《数学营养菜》等等。
她后来自己阅读了一些英文的书籍，从数学拓展到物理等，比如 《The UNIVERSE in ZERO WORDS》, 《The Physics Book》,《Chaos》等，还有最近刚刚读完的《Mathematics: A Very Short Introduction》。还有一本不得不提的杂志《Scientific American》，她从小学3年级一直读到现在。除了数学和物理，科学书之外，从6年级开始到去年，她阅读了大量的科幻类的小说和文章。
我自己比较爱看张景中院士主编的《好玩的数学》的系列书。比如《数学杂谈》，《漫话数学》，《数学与哲学》等等。
抓住孩子的兴趣，激发孩子的内动力，一点一点由浅入深地去引导孩子的兴趣发展，然后慢慢地松手去让孩子自己在知识海洋里探索。如何避免通过灌入式的方式让孩子去被动地学习，可能是我们当家长要认真去思考的大问题。
Triangular Number 三角数概念
可以跟孩子进一步探讨下这个有趣的连续数的加法问题。
这些点点组成了一个个三角形。因为图形比较直观，让孩子细细的观察下，可能就不难发现，这些组成三角形的点数之和，居然就是前面算过的连续数相加的问题。
1+ 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
你还可以把“等腰三角形”转换陈“等腰直角三角形”，如下图所示。
让孩子从简单的递进相加中去发现 Pattern，比如，+2， +3，+4， +5 … 的规律。
绝大多数孩子都会因为自己“发现”了规律而“WOW”出声来。他们在自我感觉到顶的同时，对数学的兴趣，想继续探索下去的欲望会进一步被激发出来。
这时，问下孩子，从这个点点及下面的数字中，你还能发现出什么规律来？这是比较考验家长耐心的时刻了。可以适当地给予些提醒，比如
1 = 1
1+ 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
孩子们发现 相邻两个的和，
1 + 3 = 4，
3 + 6 = 9，
哈居然都是 Square Number，平方数！
你可以让孩子们去试下，把其它相邻的和加起来，是否都是平方数。
你如果有心的话，可以比较容易地让孩子把1，2，3，4，… 20 的平方数通过“玩耍”的方式，而且可能是在非常主动热情地理解之后“无意”中记了下来。
如果是低年级的孩子，平方数的概念将对面积的深度理解起到非常重要的作用。以后，找机会，做进一步地分享。
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规律的应用
有了以上的“发现”，如何有效地应用到实际问题中去，这也是一项有难度的“工程”。
我经常跟朋友们说，未来的孩子需要三种能力
1：文科的思维。或者说，抬头看路的能力。大方向必须看对了，否则就会失去人生的目的性。从小多阅读些有营养的书籍很重要。
2：理科的抽象思维和创造力。没有创造性思维的人群或者种族是很难把自己的文明保留和延展下去的。引导过程中慢慢地松手让孩子们去研究些自己感兴趣的科目，包括艺术类的创意非常重要。
3：工科的应用能力。有很多想法，如果不能用接地气的方式加以应用，那么就会出现很多眼高手低，或者不切实际的幻想和狂想现象。这波还在持续的疫情中，我们可以从众多的“神操作”中找到很多“非常不靠谱”的现实例子。
回到开篇时给的例子。
知道了这个规律，如何能顺着孩子的思维去引导孩子“快速”地解决停靠多少站点的问题呢？
当然，最“笨”的办法是， 让孩子一个一个地试（还是先用Trial and Error 的方法）
因为相邻的两个数加起来是一个平方数，从91 之后的第一平方数 100 开始
100 = 10 X 10 = 91 + 9， 不行，因为 91 – 10 不等于 9（大人跟小孩一起想想道理在哪儿？）；
11 X 11 = 121 = 91 + 30， 还是不行，因为 91 – 30 不等于 11；
12 X 12 = 144 = 91 + 53，还是不行，因为 91 – 53 不等于 12；
13 X 13 = 169 = 91 + 78， 哦，可以了，因为 91 – 78 = 13 ！
这种算法，的确是比开始的时候去乱猜或者一步一步地去加起来快了很多。
可以跟孩子们再做些深入地探讨：还有更好的办法吗？
哈，当然还有！
回顾下上面提到的
1 + 2 + 3 + 4 + … 97 + 98 + 99 + 100 +
100 + 99 + 98 + 97 + … 4 + 3 + 2 + 1
重复加了两次之后就等于 100 x 101。
如果细致地去研究下这些数据，你可能会发现，100 和101 是Consecutive Numbers, 连续数啊。
试下 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15， Double 这个数，变成了 30
30 = 5 x 6. 哈，发现了新的情况：
当你把从1开始的连续数的之和 乘以2 之后，就是两个连续数的积。
也就是说，从 1 开始的连续数之和
= {最大的数 x（最大的数 + 1）}除以 2
举个例子
1 + 2 + 3 … + 7 + 8 + 9 + 10
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所以1 + 2 + 3 … + 7 + 8 + 9 + 10
= 10 x 11 除以 2
= 55
这时，可以让孩子用刚刚学会的方法去解答高铁的问题。
91 x 2 = 182 = 2 x 7 x 13 = 13 x 14
所以，答案是 13 站。
如果你觉得孩子还有潜力可挖，那么就可以把这个公式告诉他，估计他会秒懂下面这个高中高年级将要学到的公式
1 + 2 + 3 + … + (n -1) + n = n ( n+ 1)/2
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小结一下：
对大部分的孩子来说，数学的学习跟其它科目一样，都是从最“笨”的办法开始，或者说可以用Trial and Error 之类非抽象的方式，通过不断地试错而一步一步地接近真理的中心。
在试错的过程中，鼓励和引导孩子去寻找，发现，总结现象背后可能的规律。
把握好时机（一定要先让子弹飞一会儿 ，不要急着去做Helicopter Parents），感觉孩子有需要的时候，抓住机会，引入能向前一步的基础理论和方法。
与此同时，如何去拓宽孩子阅读的广度和深度是家长要认真考虑的大问题。因为教育的目的不是为了让孩子等待被灌入知识，而应该是尽最大可能发挥出她们的主观能动性。兴趣是激发内动力的有效方式之一，宽广的知识面会激发起孩子更强烈的兴趣。
通过把相关的知识进行有效地链接，用低年级的基本概念和知识去推导出高年级的公式和方法，而非相反。比如，我经常提到的一个观点：小学阶段，如果孩子没有一定的数学思维能力，最好不要去教高中的代数方程法。
最后一点：通过类似的数学训练，尽最大可能让孩子从小养成“把事情弄明白”而非只为了获得答案的良好习惯。
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马克
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谢谢分享
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好贴
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请教楼主，如果孩子就是不爱动脑子，有好办法吗？
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这个只适合家长数学很好的情况 像我这种数学不行的，通常都是让他自己去想
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kindy的收藏一下，遥看这么高深的数学，觉得以后真的有中风的可能
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楼主如果有教孩子中文的经验也应该分享一下
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学习了 谢谢
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非常感谢分享的数学书籍
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查看我以前写过的帖子
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不用担心。随着医学科学的不断进步，再过几年中风也可能只是正常的“大号流感”
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好文
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楼主的思路和讲解非常到位 在和孩子实际运用的过程中 可以利用孩子的各种情绪、心理加以引导
比如说他们一直使用原始办法 当然会费时费力气 而且可能会出错 这时适当的引入公式或定理 巧妙解题 他们应该会有收获 记得过段时间加强巩固一下
事实上 科学成果很多都是因为自己懒或方便他人懒才成功的 但是艰苦努力的过程可以变的有趣
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非常赞同你的总结：“但是艰苦努力的过程可以变的有趣”
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